Calcolo Esempi

$\frac{d u}{d v} = \frac{3 v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d u}{d v} = 3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 (\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}) (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.3

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ come $1 + u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + u^{2}}$ come ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.3.6.5

Semplifica.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.4

$3$ e $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 (u \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Passaggio 1.3.5

$v$ e $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Passaggio 1.3.6

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Scomponi $u$ da $3 u \sqrt{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Passaggio 1.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Passaggio 1.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \sqrt{1 + u^{2}})$

Passaggio 1.3.7

$v$ e $\frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.8

$\frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}}$ e $\sqrt{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}}) \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.9

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}))}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.10

Eleva $\sqrt{1 + u^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}))}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1})}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{2})}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.13

Riscrivi ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ come $1 + u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + u^{2}}$ come ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.13.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.13.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.13.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.13.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.13.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{1}}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.13.5

Semplifica.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.14

Elimina il fattore comune di $1 + u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.14.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

Passaggio 1.3.14.2

Dividi $v \cdot 3$ per $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = v \cdot 3$

Passaggio 1.3.15

Sposta $3$ alla sinistra di $v$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 v$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = 3 v d v$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 1 + u^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 u d u$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 1 + u^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $1 + u^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [1 + u^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $1$ rispetto a $u$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 u$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 u$ .

$2 u$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.4.2

Sposta ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.6.2.3

Moltiplica ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + u^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $v$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int v d v$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $v$ rispetto a $v$ è $\frac{1}{2} v^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ come $3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} v^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} v^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 + u^{2})}^{1} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Semplifica.

$1 + u^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ${(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ e $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = {(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Riscrivi ${(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$ come $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ .

$1 + u^{2} = (\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Espandi $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} (\frac{3 v^{2}}{2} + K) + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.1

Combina.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2} (3 v^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2

Moltiplica $v^{2}$ per $v^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2.1

Sposta $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 (v^{2} v^{2}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2 + 2} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{4} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.5

$\frac{3 v^{2}}{2}$ e $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.6

$K$ e $\frac{3 v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{K (3 v^{2})}{2} + K (K)$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.7

Sposta $3$ alla sinistra di $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 \cdot K v^{2}}{2} + K \cdot K$

Passaggio 3.2.2.1.3.1.8

Moltiplica $K$ per $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Somma $\frac{3 v^{2} K}{2}$ e $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.2.1

Sposta $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 K v^{2}}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.3.2.2

Somma $\frac{3 K v^{2}}{2}$ e $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Passaggio 3.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2}$

Passaggio 3.3

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1$

Passaggio 3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$u = \pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi $9 v^{4}$ come ${(3 v^{2})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Riscrivi $\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Passaggio 3.3.3.1.4

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$3 K v^{2} = 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K$

Passaggio 3.3.3.1.5

Riscrivi il polinomio.

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K + K^{2} - 1}$

Passaggio 3.3.3.1.6

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = \frac{3 v^{2}}{2}$ e $b = K$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1}$

Passaggio 3.3.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{3 v^{2}}{2} + K$ e $b = 1$ .

$u = \pm \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Passaggio 3.3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$u = \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Passaggio 3.3.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$u = - \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Passaggio 3.3.4.3