Calcolo Esempi

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y \ln (x) + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y \ln (x) + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\ln (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y \ln (x)$ rispetto a $y$ è $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \ln (x) - e^{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.3.4

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1 + \ln (x)$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\ln (x) + 1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1 + \ln (x)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

Passaggio 5.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

Passaggio 5.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

Passaggio 5.4

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x \ln (x) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.3.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.3.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.4

Poiché $- e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{y}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.6.2.2

Somma $y + y \ln (x)$ e $0$ .

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Passaggio 8.6.3

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $y \ln (x)$ da $y \ln (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $- \frac{d g}{d x} - y + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Somma $- y$ e $y$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $- \frac{d g}{d x}$ e $0$ .

$0 = - \frac{d g}{d x}$

Passaggio 9.1.4

Poiché $\frac{d g}{d x}$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 9.1.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d g}{d x} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{d g}{d x} = 0$ .

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 9.1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 9.1.5.2.2

Dividi $\frac{d g}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 9.1.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 10.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 10.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Passaggio 12

Riordina i fattori in $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$