Calcolo Esempi

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + x y = x$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x} + x y = x$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $- 1 \frac{d y}{d x}$ come $- \frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y = x$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} = x - x y$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} - \frac{d y}{d x} = x - x y$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 = x - x y$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 1) = x - x y$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 1^{2}) = x - x y$

Passaggio 1.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 1) (x - 1)) = x - x y$

Passaggio 1.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$

Passaggio 1.1.6

Dividi per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Dividi per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.1.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.1.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.1.6.2.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.1.6.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.1.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $x$ da $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (1 - 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2.2.1.5

Moltiplica $x$ per $1 - 1 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y)$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y))$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $1 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $1 - y$ da $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y)$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 1 - y$ . Allora $d u_{1} = - d y$ , quindi $- d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 1 - y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.1.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.1.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Passaggio 2.3.1.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.3.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Passaggio 2.3.1.1.3.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Passaggio 2.3.1.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.1.1.3.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| (x + 1) (x - 1) |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} + C$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 0 - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- \ln (| 1 - y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.5

$- \ln (| 1 - y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \ln (| 1 - y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- \ln (| 1 - y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Riordina $1$ e $- y$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.7.1.2

Sposta $\ln (| - y + 1 |)$ .

$\frac{- 1 \cdot (2 \ln (| - y + 1 |)) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $- 1$ da $- 1 \cdot 2 \ln (| - y + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |)) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- \ln (| x^{2} - 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |)) - (\ln (| x^{2} - 1 |))}{2} = C$

Passaggio 3.7.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 \ln (| - y + 1 |)) - (\ln (| x^{2} - 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |))}{2} = C$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.9

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Semplifica $- \frac{2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| - y + 1 |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$- \frac{\ln ({| - y + 1 |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.9.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| - y + 1 |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$- \frac{\ln ({(- y + 1)}^{2}) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.9.1.1.3

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{\ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Passaggio 3.9.1.2

Riscrivi $\frac{\ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)$ .

$- (\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)) = C$

Passaggio 3.9.1.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$- \ln ({({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.9.1.4

Applica la regola del prodotto a ${(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |$ .

$- \ln ({({(- y + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.9.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${({(- y + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln ({(- y + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.9.1.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \ln ({(- y + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.9.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \ln ({(- y + 1)}^{1} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.9.1.6

Semplifica.

$- \ln ((- y + 1) {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.9.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + 1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.9.1.8

Moltiplica ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.10

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ .

$\frac{- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.10.2.2

Dividi $\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ per $1$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = \frac{C}{- 1}$

Passaggio 3.10.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - 1 \cdot C$

Passaggio 3.10.3.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - C$

Passaggio 3.11

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{- C}$

Passaggio 3.12

Riscrivi $\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = - y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.13

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Riscrivi l'equazione come $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C}$ .

$- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C}$

Passaggio 3.13.2

Sottrai ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.13.3

Dividi per $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1

Dividi per $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.2.3

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.3.1

Per scrivere $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.2

Per scrivere $\frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.13.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.13.3.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.13.3.3.3.3

Moltiplica ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.13.3.3.3.4

Moltiplica $\frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}$

Passaggio 3.13.3.3.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.3.6

Moltiplica ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1 - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.3.5.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.5.2

Riscrivi $- 1 e^{- C}$ come $- e^{- C}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.5.3

Moltiplica $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.3.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{- e^{- C} + 1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.5.3.2

Moltiplica ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y = \frac{- e^{- C} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.3.6.1

Scomponi $- 1$ da ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - 1 (- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $- e^{- C} - 1 (- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = \frac{- (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.6.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.3.6.3.1

Riscrivi $- (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ come $- 1 (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = \frac{- 1 (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3.3.6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{C - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$