Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $x^{2} - 4 x + 4$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Passaggio 1.2.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi il polinomio.

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Passaggio 1.2.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = (x^{2} - 4 x + 4) \frac{t - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $x^{2} - 4 x + 4$ per $\frac{t - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 4 x + 4) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 4 x + 2^{2}) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi il polinomio.

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{{(x - 2)}^{2} (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = \frac{{(x - 2)}^{2} (t - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Dividi $t - 1$ per $1$ .

$(x^{2} - 4 x + 4) \frac{d x}{d t} = t - 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(x^{2} - 4 x + 4) d x = (t - 1) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int x^{2} - 4 x + 4 d x = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \int - 4 x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 \int x d x + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 4 d x = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.2.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 x + C_{3} = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.2.6.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C_{1} - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 x + C_{3} = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.2.6.2

Semplifica.

$\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.2.6.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.2.7

Riordina i termini.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \int t - 1 d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \int t d t + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{5} + \int - 1 d t$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{5} - t + C_{6}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{4} = \frac{1}{2} t^{2} - t + C_{7}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x = \frac{1}{2} t^{2} - t + K$