Calcolo Esempi

$(e^{x} + 1) y d y = (y + 1) e^{x} d x$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) y) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $e^{x} + 1$ da $(e^{x} + 1) y$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) (y)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Passaggio 2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) y) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{y + 1}$ e $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $y + 1$ da $(e^{x} + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Passaggio 2.3.2

Scomponi $y + 1$ da $(y + 1) e^{x}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

Passaggio 2.4

$\frac{1}{e^{x} + 1}$ e $e^{x}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi $y$ per $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Passaggio 3.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + 1$

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Passaggio 3.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Passaggio 3.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3.2.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3.2.5

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 3.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3.2.7

Semplifica.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sia $u_{2} = e^{x} + 1$ . Allora $d u_{2} = e^{x} d x$ , quindi $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Sia $u_{2} = e^{x} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Differenzia $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Passaggio 3.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.1.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x} + 0$

Passaggio 3.3.1.1.4.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 3.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{x} + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{4}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \ln (| e^{x} + 1 |) + C$