Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{e^{y}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{x^{2} + 1}{e^{y}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $e^{y}$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{x^{2} + 1}{e^{y}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$e^{y} d y = (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int e^{y} d y = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$e^{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$e^{y} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Passaggio 3.2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$