Calcolo Esempi

$x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x^{3}$ ciascun termine in $x^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} \frac{d y}{d x}}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{6}{y}}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.1.3.2

Combina.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y x^{3}}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{6}$ .

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} (\frac{6}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Combina.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{6} \cdot \frac{6 \cdot 1}{y x^{3}}$

Passaggio 1.4.2

Combina.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{y (6 \cdot 1)}{6 (y x^{3})}$

Passaggio 1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 (x^{3})}$

Passaggio 1.4.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \cdot 1}{6 x^{3}}$

Passaggio 1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{6} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{6} d y = \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{6} d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int y d y = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ come $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{1}{12} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{12} y^{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $12$ .

$12 (\frac{1}{12} y^{2}) = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $12 (\frac{1}{12} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{12}$ e $y^{2}$ .

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$12 \frac{y^{2}}{12} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 12 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 12 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 x^{2}}$ nel numeratore.

$y^{2} = 12 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $12$ .

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (6) \frac{- 1}{2 (x^{2})} + 12 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2 x^{2}} + 12 K$

Passaggio 3.2.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 6 \frac{- 1}{x^{2}} + 12 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

$6$ e $\frac{- 1}{x^{2}}$ .

$y^{2} = \frac{6 \cdot - 1}{x^{2}} + 12 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.4.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$y^{2} = \frac{- 6}{x^{2}} + 12 K$

Passaggio 3.2.2.1.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{6}{x^{2}} + 12 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{6}{x^{2}} + 12 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $6$ da $- \frac{6}{x^{2}} + 12 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $6$ da $- \frac{6}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 12 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $6$ da $12 K$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $6$ da $6 (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + 2 K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $2 K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{6 (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 K x^{2}}{x^{2}})}$

Passaggio 3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{6 \frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 3.4.4

$6$ e $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}}$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi $\frac{6 (- 1 + 2 K x^{2})}{x^{2}}$ come ${(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $6 (- 1 + 2 K x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2}}}$

Passaggio 3.4.5.2

Scomponi la potenza perfetta $x^{2}$ su $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.5.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (6 (- 1 + 2 K x^{2}))}$

Passaggio 3.4.6

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{x} \sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$

Passaggio 3.4.7

$\frac{1}{x}$ e $\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + 2 K x^{2})}}{x}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 1 + K x^{2})}}{x}$