Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $2$ e $y$ con $0$ in $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ .

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

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Passaggio 4.2.1.5.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

Passaggio 4.2.1.5.2

$- 8$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $4$ e $4$ .

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.3

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.4

$8$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.6.2

Sottrai $8$ da $24$ .

$\frac{16}{3} + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $\frac{16}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - \frac{16}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{16}{3}$ a $K$ in $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{16}{3}$ a $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 5.2.2

$x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$