Calcolo Esempi

$(1 + y) d x = (1 - x) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$(1 - x) d y = (1 + y) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $1 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $1 + y$ da $(1 - x) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = 1 + y$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = 1 + y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Sia $u_{2} = 1 - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.3.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Passaggio 5.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = C$

Passaggio 5.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = C$

Passaggio 5.4

Espandi $(1 + y) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = C$

Passaggio 5.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = C$

Passaggio 5.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Passaggio 5.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = C$

Passaggio 5.5.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$

Passaggio 5.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{C}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $\ln (| 1 - x + y - y x |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | 1 - x + y - y x |$

Passaggio 5.8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.8.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 - x + y - y x | = e^{C}$ .

$| 1 - x + y - y x | = e^{C}$

Passaggio 5.8.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 - x + y - y x = \pm e^{C}$

Passaggio 5.8.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.8.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x + y - y x = \pm e^{C} - 1$

Passaggio 5.8.3.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Passaggio 5.8.4

Scomponi $y$ da $y - y x$ .

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Passaggio 5.8.4.1

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C} - 1 + x$

Passaggio 5.8.4.2

Scomponi $y$ da $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Passaggio 5.8.4.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Passaggio 5.8.5

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$

Passaggio 5.8.6

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.6.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = \pm e^{C} - 1 + x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.8.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.6.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.8.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.8.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.8.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 5.8.6.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{C} - 1 + x}{1 - x}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$