Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x$ , $y (1) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 4 \cdot x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 \cdot x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int x d x$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $0$ in $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$0 = 1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$ .

$1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $1^{4} - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{2} + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 + \frac{1}{2} + K = 0$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ a $K$ in $y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ a $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = x^{4} - x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$