Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ per $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ per $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 1.5

$\frac{1}{x^{2}}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.7

$y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Passaggio 1.8

Usa la regola della potenza di un quoziente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 - V^{2}}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 - V^{2}}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{2} - V^{2}}$

Passaggio 6.1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$

Passaggio 6.1.1.2

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.1

Scomponi $V$ da $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.1.1

Scomponi $V$ da $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.1.2

Scomponi $V$ da $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.1.3

Scomponi $V$ da $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1)}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.3

$- 1$ e $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + \frac{- ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.3

Espandi $(- 1 - V) (1 - V)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 (1 - V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2

Moltiplica $- 1 (- V)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.2

Moltiplica $V$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5

Moltiplica $V$ per $V$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.1

Sposta $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.2

Moltiplica $V$ per $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.1.7

Moltiplica $V^{2}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.2

Sottrai $V$ da $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.4.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.2.5.6

Somma $0$ e $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

$V$ e $\frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4

Moltiplica $V$ per $V^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1

Moltiplica $V$ per $V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1.1

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.4.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.6

Combina.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.7.1

Moltiplica $V^{3}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$

Passaggio 6.1.1.3.3.7.2

Riordina i fattori in $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{x (1 + V) (1 - V)}$

Passaggio 6.1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 6.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Combina.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

Passaggio 6.1.4.2

Combina.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

Passaggio 6.1.4.3

Elimina il fattore comune di $1 + V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

Passaggio 6.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

Passaggio 6.1.4.4

Elimina il fattore comune di $1 - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

Passaggio 6.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} (x)}$

Passaggio 6.1.4.5

Elimina il fattore comune di $V^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} x}$

Passaggio 6.1.4.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sposta $V^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Espandi $(1 + V) (1 - V) V^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 (1 - V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + V \cdot 1 V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.7

Riordina $V$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.8

Riordina $V$ e $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.9

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.10

Moltiplica $V^{- 3}$ per $1$ .

$\int V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\int V^{- 3} - V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.12

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int V^{- 3} - (V \cdot V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.13

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\int V^{- 3} - (V^{1} V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 3} - V^{1 - 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.15

Sottrai $3$ da $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.16

Moltiplica $V$ per $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.17

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 - 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.19

Sottrai $3$ da $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.20

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V \cdot V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.21

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.22

Eleva $V$ alla potenza di $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V^{1}) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.23

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{1 + 1} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.24

Somma $1$ e $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.25

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{2} V^{- 3}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.26

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2 - 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.27

Sottrai $3$ da $2$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.28

Somma $- V^{- 2}$ e $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 3} + 0 - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.29

Sottrai $V^{- 1}$ da $0$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.30

Riordina $V^{- 3}$ e $- V^{- 1}$ .

$\int - V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $V$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

L'integrale di $V^{- 1}$ rispetto a $V$ è $\ln (| V |)$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V^{- 3}$ rispetto a $V$ è $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) - \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.8.1

Semplifica.

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.8.2.1

Moltiplica $\frac{1}{V^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.8.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $V^{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2 V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.9

Riordina i termini.

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Risolvi $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Passaggio 8.2.2

$2$ e $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ per $1$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Passaggio 8.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ .

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2

Dividi $\ln (| \frac{y}{x} |)$ per $1$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ come $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 8.3.3.1.5

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Passaggio 8.3.3.1.6

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| x |)$ come $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - \ln (| x |)$

Passaggio 8.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Passaggio 8.5

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Passaggio 8.6

Moltiplica $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Passaggio 8.6.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Passaggio 8.6.2

$\frac{y}{x}$ e $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Passaggio 8.7

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 8.7.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Passaggio 8.7.2

Dividi $y$ per $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$