Calcolo Esempi

$x (2 y - 3) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $x (2 y - 3) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x^{2} + 1) d y = - x (2 y - 3) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} + 1) (2 y - 3)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (2 y - 3)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (2 y - 3)} (- x (2 y - 3)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (2 y - 3)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (2 y - 3)} (- x (2 y - 3)) d x$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 y - 3} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (2 y - 3)} (- x (2 y - 3)) d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{2 y - 3} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 1) (2 y - 3)} (x (2 y - 3)) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $2 y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(x^{2} + 1) (2 y - 3)}$ nel numeratore.

$\frac{1}{2 y - 3} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 1) (2 y - 3)} (x (2 y - 3)) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2 y - 3$ da $(x^{2} + 1) (2 y - 3)$ .

$\frac{1}{2 y - 3} d y = \frac{- 1}{(2 y - 3) (x^{2} + 1)} (x (2 y - 3)) d x$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $2 y - 3$ da $x (2 y - 3)$ .

$\frac{1}{2 y - 3} d y = \frac{- 1}{(2 y - 3) (x^{2} + 1)} ((2 y - 3) x) d x$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 y - 3} d y = \frac{- 1}{(2 y - 3) (x^{2} + 1)} ((2 y - 3) x) d x$

Passaggio 3.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 y - 3} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 1} x d x$

Passaggio 3.4

$\frac{- 1}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{1}{2 y - 3} d y = \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2 y - 3} d y = - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{2 y - 3} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = 2 y - 3$ . Allora $d u_{1} = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = 2 y - 3$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $2 y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 3]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y - 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 4.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 4.2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 4.2.1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 y - 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 3 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 2 y - 3 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 3 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 3 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 2 y - 3 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 2 y - 3 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 y - 3 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

$C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 y - 3 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 2 y - 3 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| 2 y - 3 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 2 y - 3 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2$

Passaggio 5.2.2.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$\ln (| 2 y - 3 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + 2 C$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 2 y - 3 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.4

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 y - 3 | | x^{2} + 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.5

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (2 y - 3) (x^{2} + 1) |) = 2 C$

Passaggio 5.6

Espandi $(2 y - 3) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 2 y (x^{2} + 1) - 3 (x^{2} + 1) |) = 2 C$

Passaggio 5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 2 y x^{2} + 2 y \cdot 1 - 3 (x^{2} + 1) |) = 2 C$

Passaggio 5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 2 y x^{2} + 2 y \cdot 1 - 3 x^{2} - 3 \cdot 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\ln (| 2 y x^{2} + 2 y - 3 x^{2} - 3 \cdot 1 |) = 2 C$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\ln (| 2 y x^{2} + 2 y - 3 x^{2} - 3 |) = 2 C$

Passaggio 5.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 2 y x^{2} + 2 y - 3 x^{2} - 3 |)} = e^{2 C}$

Passaggio 5.9

Riscrivi $\ln (| 2 y x^{2} + 2 y - 3 x^{2} - 3 |) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 2 y x^{2} + 2 y - 3 x^{2} - 3 |$

Passaggio 5.10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Riscrivi l'equazione come $| 2 y x^{2} + 2 y - 3 x^{2} - 3 | = e^{2 C}$ .

$| 2 y x^{2} + 2 y - 3 x^{2} - 3 | = e^{2 C}$

Passaggio 5.10.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$2 y x^{2} + 2 y - 3 x^{2} - 3 = \pm e^{2 C}$

Passaggio 5.10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.3.1

Somma $3 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y x^{2} + 2 y - 3 = \pm e^{2 C} + 3 x^{2}$

Passaggio 5.10.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y x^{2} + 2 y = \pm e^{2 C} + 3 x^{2} + 3$

Passaggio 5.10.4

Scomponi $2 y$ da $2 y x^{2} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.4.1

Scomponi $2 y$ da $2 y x^{2}$ .

$2 y (x^{2}) + 2 y = \pm e^{2 C} + 3 x^{2} + 3$

Passaggio 5.10.4.2

Scomponi $2 y$ da $2 y$ .

$2 y (x^{2}) + 2 y (1) = \pm e^{2 C} + 3 x^{2} + 3$

Passaggio 5.10.4.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (x^{2}) + 2 y (1)$ .

$2 y (x^{2} + 1) = \pm e^{2 C} + 3 x^{2} + 3$

Passaggio 5.10.5

Dividi per $2 (x^{2} + 1)$ ciascun termine in $2 y (x^{2} + 1) = \pm e^{2 C} + 3 x^{2} + 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.1

Dividi per $2 (x^{2} + 1)$ ciascun termine in $2 y (x^{2} + 1) = \pm e^{2 C} + 3 x^{2} + 3$ .

$\frac{2 y (x^{2} + 1)}{2 (x^{2} + 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 5.10.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y (x^{2} + 1)}{2 (x^{2} + 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 5.10.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 5.10.5.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 5.10.5.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{2 C}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} + 1)} + \frac{3}{2 (x^{2} + 1)}$