Calcolo Esempi

$x (y + 2) d y = (\ln (x) + 1) d x$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(y + 2) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\ln (x) + 1$ .

$(y + 2) d y = \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y + 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Passaggio 3.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Passaggio 3.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.3

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.3.3.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int u d u + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 3.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica le espressioni nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$

Passaggio 4.2

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ per $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 4.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (| x |)$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Passaggio 4.2.3.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Passaggio 4.3.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (x^{2}) + 2 C$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (x^{2}) = - y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C$

Passaggio 4.5

Riscrivi l'equazione come $- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$ .

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$

Passaggio 4.6

Somma $\ln (x^{2})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) = 0$

Passaggio 4.7

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.8

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = - 4$ e $c = \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1.2.1

Riordina $- 4$ e $- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.2.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.2.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.2.4

Riscrivi $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ come $- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1.3.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.3.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.4

Riscrivi $4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ come $2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1.4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$

Passaggio 4.9.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$

Passaggio 4.9.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Passaggio 4.9.5

Riscrivi $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ come $- (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Passaggio 4.10

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

Passaggio 5

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$