Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \tan (x)$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \tan (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \tan (x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = \ln (| \sec (x) |) + C$ .

$1 = \ln (| \sec (0) |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (| \sec (0) |) + C = 1$ .

$\ln (| \sec (0) |) + C = 1$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $\ln (| \sec (0) |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\ln (| 1 |) + C = 1$

Passaggio 4.2.1.1.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (1) + C = 1$

Passaggio 4.2.1.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$0 + C = 1$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $0$ e $C$ .

$C = 1$

Passaggio 5

Sostituisci $1$ a $C$ in $y = \ln (| \sec (x) |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $C$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) + 1$