Calcolo Esempi

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2} - 1$ ciascun termine in $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x^{2} - 1$ ciascun termine in $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y)$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $y$ da $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = (x + 1) (x - 1)$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = (x + 1) (x - 1)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.2.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.2.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.3.2.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Passaggio 2.3.2.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.3.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Passaggio 2.3.2.1.3.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Passaggio 2.3.2.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.2.1.3.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ogni lato per $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 3.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $| (x + 1) (x - 1) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 3.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Semplifica $e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Passaggio 3.5.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Passaggio 3.5.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 3.5.3.2.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 3.5.3.2.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 3.5.3.2.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Passaggio 3.5.3.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Passaggio 3.5.3.2.1.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Passaggio 3.5.3.2.1.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 |$

Passaggio 3.5.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Riordina i fattori in $e^{C} | x^{2} - 1 |$ .

$| y | = | x^{2} - 1 | e^{C}$

Passaggio 3.5.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x^{2} - 1 | e^{C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm | x^{2} - 1 | C$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | x^{2} - 1 |$