Calcolo Esempi

$\frac{y - 1}{- y - 1} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y - 1}{- y - 1} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y - 1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi $y - 1$ per $- y - 1$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y$

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- y$ .

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				+	$y$	+	$1$

Passaggio 2.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + 1$

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$

Passaggio 2.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$
						-	$2$

Passaggio 2.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int - 1 - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d y + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$- y + C_{1} + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + C_{1} - \int \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{- y - 1} d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.7

Sia $u = - y - 1$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.7.1

Sia $u = - y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.7.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.7.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- y + C_{1} - 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + C_{1} - 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- y + C_{1} + 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} + 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.12

Semplifica.

$- y + 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y - 1$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C_{4}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) = \arctan (x) + C$