Calcolo Esempi

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Scrivi il problema come espressione matematica.

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Passaggio 2

Sottrai $(y^{2} + 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

Passaggio 3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Passaggio 4.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Passaggio 4.2

$\frac{1}{y^{2} + 1}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Passaggio 4.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ nel numeratore.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $y^{2} + 1$ da $x^{2} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Passaggio 4.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Passaggio 4.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi $y^{2}$ per $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y^{2}$ .

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

Passaggio 5.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{2} + 0 + 1$

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

Passaggio 5.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Passaggio 5.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2.3

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.2.5.1

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2.5.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2.6

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{2}$ .

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2.7

Semplifica.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

Passaggio 5.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

Passaggio 5.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Riscrivi $- (- x^{- 1} + C_{4})$ come $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

Passaggio 5.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$