Calcolo Esempi

$(2 x y + y^{2}) d x + (x^{2} + 2 x y - y) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{2}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x^{2} + 2 x y - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y - y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x y - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2 x + 2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x + 2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y + y^{2} d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int y^{2} d x$

Passaggio 5.2

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int y^{2} d x$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{2} d x$

Passaggio 5.4

Applica la regola costante.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{2} x + C$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{2} x + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} x + g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y x^{2}$ rispetto a $y$ è $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8.4

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8.5

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 8.6

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y - x^{2}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y + 0 - 2 x y$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $2 x y - y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y - 2 x y$

Passaggio 9.1.3.3

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Passaggio 9.1.3.4

Somma $- y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $- y$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Passaggio 10.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (y) = - \int y d y$

Passaggio 10.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Passaggio 10.5

Riscrivi $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ come $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2

Sottrai $\frac{y^{2}}{2}$ da $y^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Riordina $y^{2}$ e $x$ .

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $x y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2.3

$x y^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 - y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2} \cdot 2 - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) - y^{2}}{2} + C$

Passaggio 12.3.1.2

Scomponi $y^{2}$ da $- y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1}{2} + C$

Passaggio 12.3.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Passaggio 12.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Passaggio 12.4

Per scrivere $y x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Passaggio 12.5

$y x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Passaggio 12.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Passaggio 12.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.1

Scomponi $y$ da $y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.1.1

Scomponi $y$ da $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Passaggio 12.7.1.2

Scomponi $y$ da $y^{2} (2 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))}{2} + C$

Passaggio 12.7.1.3

Scomponi $y$ da $y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2 + y (2 x - 1))}{2} + C$

Passaggio 12.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 \cdot x^{2} + y (2 x - 1))}{2} + C$

Passaggio 12.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + y (2 x) + y \cdot - 1)}{2} + C$

Passaggio 12.7.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x + y \cdot - 1)}{2} + C$

Passaggio 12.7.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - 1 \cdot y)}{2} + C$

Passaggio 12.7.6

Semplifica ciascun termine.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - y)}{2} + C$