Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y^{- 2} \ln (x)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{- 2}$ da $y^{- 2} \ln (x)$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} (\ln (x)))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \ln (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \ln (x) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $y^{- 2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int \ln (x) d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \ln (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x \ln (x) - x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (x \ln (x) - x + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (x \ln (x)) + 3 (- x) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y^{3} = 3 x \ln (x) - 3 x + 3 K$

Passaggio 3.3

Semplifica $3 \ln (x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y^{3} = x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + K}$