Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

Passaggio 1

Presupponi che tutte le soluzioni siano del tipo $y = e^{r x}$ .

Passaggio 2

Trova l'equazione caratteristica per $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Passaggio 2.3

Sostituisci nell'equazione differenziale.

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Passaggio 2.4

Metti in evidenza $e^{r x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $e^{r x}$ da $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $e^{r x}$ da $r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Passaggio 2.4.4

Scomponi $e^{r x}$ da $- 12 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

Passaggio 2.4.5

Scomponi $e^{r x}$ da $e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ .

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

Passaggio 2.5

Poiché gli esponenziali non possono mai essere zero, dividi entrambi i lati per $e^{r x}$ .

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 3.1.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

Passaggio 3.1.1.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $8$ da $- 12$ .

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

Passaggio 3.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - 5 x - 20$ nella formula quadratica e risolvi per $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.6

Somma $1$ e $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.6

Somma $1$ e $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 3.5.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 3.5.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Passaggio 3.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Passaggio 3.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Somma $1$ e $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 3.6.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.4.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 3.6.4.2

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

Passaggio 3.6.4.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Passaggio 3.6.4.4

Riscrivi $- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ come $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Passaggio 3.6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Passaggio 4

Con i due valori trovati di $r$ , è possibile costruire due soluzioni.

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Passaggio 5

Secondo il principio di sovrapposizione, la soluzione generale è una combinazione lineare delle due soluzioni di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea.

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

$x$ e $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$