Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

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Passaggio 2.3.4.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$y + C_{1} = - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.9

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $3$ in $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Passaggio 4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (1) + C = 3$

Passaggio 4.2.1.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \cdot 0 + C = 3$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $5$ per $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 0 + C = 3$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 1 - \frac{7}{2}$ e $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + C = 3$

Passaggio 4.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Passaggio 4.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Passaggio 4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2} + C = 3$

Passaggio 4.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 - 7}{2} + C = 3$

Passaggio 4.2.6.2

Sottrai $7$ da $- 2$ .

$\frac{- 9}{2} + C = 3$

Passaggio 4.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{2} + C = 3$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $\frac{9}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 3 + \frac{9}{2}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$C = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

Passaggio 4.3.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{3 \cdot 2 + 9}{2}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$C = \frac{6 + 9}{2}$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $6$ e $9$ .

$C = \frac{15}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{15}{2}$ a $C$ in $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{15}{2}$ a $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + \frac{15}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica $5 \ln (| x |)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + \ln ({| x |}^{5}) + \frac{15}{2}$