Calcolo Esempi

$t \frac{d y}{d t} - 5 t = - y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

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Passaggio 1.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t \frac{d y}{d t} - 5 t + y = 0$

Passaggio 1.2

Somma $5 t$ a entrambi i lati dell'equazione.

$t \frac{d y}{d t} + y = 5 t$

Passaggio 2

Verifica se il lato sinistro dell'equazione sia il risultato della derivata del termine $t y$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = y$ .

$t \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d t} [y]$ come $y'$ .

$t y' + y \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$t y' + y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $\frac{d y}{d t}$ a $y'$ .

$t \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Passaggio 2.5

Riordina $y$ e $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Passaggio 2.6

Moltiplica $y$ per $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + y$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [t y] = 5 t$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 5 t d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$t y = \int 5 t d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$t y = 5 \int t d t$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Passaggio 6.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi $5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ come $5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Passaggio 6.3.2

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$

Passaggio 7

Dividi per $t$ ciascun termine in $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $t$ ciascun termine in $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ e $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi $t$ da $\frac{5}{2} t^{2}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t} + \frac{C}{t}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Scomponi $t$ da $t^{1}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{5}{2} t}{1} + \frac{C}{t}$

Passaggio 7.3.1.1.2.5

Dividi $\frac{5}{2} t$ per $1$ .

$y = \frac{5}{2} t + \frac{C}{t}$

Passaggio 7.3.1.2

$\frac{5}{2}$ e $t$ .

$y = \frac{5 t}{2} + \frac{C}{t}$