Calcolo Esempi

$\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} y + x^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $\sqrt{1 + x^{3}}$ ciascun termine in $\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} y + x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $\sqrt{1 + x^{3}}$ ciascun termine in $\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} y + x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{3}}} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1 + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{1 + x^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{3}}} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1 + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1 + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1^{3} + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.1.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Moltiplica $\frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.3.1

Moltiplica $\frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1 + 1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}$ come $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ come ${((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{({((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.3.6.5

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1^{3} + x^{3}}}$

Passaggio 1.1.3.1.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}}$

Passaggio 1.1.3.1.4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.4.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}}$

Passaggio 1.1.3.1.4.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Passaggio 1.1.3.1.5

Moltiplica $\frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Passaggio 1.1.3.1.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.6.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.6

Riscrivi ${\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}$ come $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ come ${((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{({((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{1}}$

Passaggio 1.1.3.1.6.6.5

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Scomponi $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ da $x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Scomponi $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ da $x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y) + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Scomponi $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ da $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y) + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (1)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Passaggio 1.1.3.2.2.3

Scomponi $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ da $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y) + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi $y + 1$ da $\frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})})$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})})$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u_{2} = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Allora $d u_{2} = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u_{2} = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.1.1.3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.1.1.3.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.3.12

Moltiplica $1 - x + x^{2}$ per $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.9

Somma $- x$ e $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.10

Somma $- 1$ e $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.11

Somma $x + 2 x^{2}$ e $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.12

Sottrai $x$ da $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.13

Somma $2 x^{2}$ e $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Passaggio 2.3.1.1.4.4.14

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{3 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1

Moltiplica $u_{2}$ per ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1.1

Eleva $u_{2}$ alla potenza di $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.3.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{3} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y + 1 |) = \frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $e^{\frac{2}{3} \cdot {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Espandi $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.6.1

Sposta $x$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.2.7.2

Somma $1$ e $2$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Combina i termini opposti in $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Somma $- x$ e $x$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Somma $1 + x^{2}$ e $0$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + x^{2} - x^{2} + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + 0 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Passaggio 3.3.2.1.4

$\frac{2}{3}$ e ${(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C}$

Passaggio 3.3.2.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

$C$ e $\frac{3}{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C \cdot 3}{3}}$

Passaggio 3.3.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $C$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}}$

Passaggio 3.3.4

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}} - 1$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Dividi la frazione $\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}$ in due frazioni.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{3 C}{3}} - 1$

Passaggio 3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{3 C}{3}} - 1$

Passaggio 3.3.4.2.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C} - 1$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C}$ come $e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} e^{C} - 1$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} - 1$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} - 1$