Calcolo Esempi

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (x)}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{2}{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{2}{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x y = \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x y = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$x y = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$x y = 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 8

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = 2 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y = 2 \ln (| x |) + C$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y = \frac{\ln ({| x |}^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Passaggio 8.3.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \frac{\ln (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$