Calcolo Esempi

$3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Dividi per $3 x$ ciascun termine in $3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$ e semplifica.

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Passaggio 1.1.1

Dividi per $3 x$ ciascun termine in $3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$ .

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Passaggio 1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{3 x}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{2}}{3}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{3 x} d x + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{5}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{x^{2}}{3} d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{9} x^{3} + C$