Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} + y - 1$

Passaggio 1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - y = e^{2 x} - 1$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{2 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x + 2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.1.2

Somma $- x$ e $2 x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{x} - e^{- x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- x} y = \int e^{x} - e^{- x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{- x} y = \int e^{x} d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 7.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{- x} y = e^{x} + C + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 7.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = e^{x} + C - \int e^{- x} d x$

Passaggio 7.4

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.4.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 7.4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- x} y = e^{x} + C - \int - e^{u} d u$

Passaggio 7.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = e^{x} + C - - \int e^{u} d u$

Passaggio 7.6

Semplifica.

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Passaggio 7.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = e^{x} + C + 1 \int e^{u} d u$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $\int e^{u} d u$ per $1$ .

$e^{- x} y = e^{x} + C + \int e^{u} d u$

Passaggio 7.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- x} y = e^{x} + C + e^{u} + C$

Passaggio 7.8

Semplifica.

$e^{- x} y = e^{x} + e^{u} + C$

Passaggio 7.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{- x} y = e^{x} + e^{- x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = e^{x} + e^{- x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = e^{x} + e^{- x} + C$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{- x}$ .

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Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{- x} e^{2 x}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{- x} e^{2 x}}{e^{- x} \cdot 1} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{- x} e^{2 x}}{e^{- x} \cdot 1} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{e^{2 x}}{1} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $e^{2 x}$ per $1$ .

$y = e^{2 x} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

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Passaggio 8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = e^{2 x} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = e^{2 x} + 1 + \frac{C}{e^{- x}}$