Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $2$ da $2 - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 1 - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 1 - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - y$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ da dentro l'arcotangente.

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Riordina $\ln (| 1 - y |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$