Calcolo Esempi

$2 x (y + 1) d x - (x^{2} + 1) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $2 x (y + 1) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- (x^{2} + 1) d y = - 2 x (y + 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.5

$- 2$ e $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $y + 1$ da $(x^{2} + 1) (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $y + 1$ da $x (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Passaggio 3.6.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Passaggio 3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{x^{2} + 1} x d x$

Passaggio 3.7

$\frac{- 2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.4

Semplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3.4

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.9

Semplifica.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 4.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Passaggio 5.2

Sottrai $\ln (| x^{2} + 1 |)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi $\ln (| y + 1 |)$ per $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{1}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Dividi $\ln (| x^{2} + 1 |)$ per $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x^{2} + 1 |)$

Passaggio 5.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x^{2} + 1 |) = - C$

Passaggio 5.5

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$

Passaggio 5.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |})} = e^{- C}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}$

Passaggio 5.8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica ogni lato per $| x^{2} + 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1

Elimina il fattore comune di $| x^{2} + 1 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Passaggio 5.8.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Passaggio 5.8.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.4.1

Riordina i fattori in $e^{- C} | x^{2} + 1 |$ .

$| y + 1 | = | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Passaggio 5.8.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Passaggio 5.8.4.3

Riordina i fattori in $\pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Passaggio 5.8.4.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 | - 1$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm C | x^{2} + 1 | - 1$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | x^{2} + 1 | - 1$