Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 4$ , $y (0) = 4$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (3 x^{2} - 4) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 3 x^{2} - 4 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} - 4 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$y + C_{1} = x^{3} - 4 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = x^{3} - 4 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $4$ in $y = x^{3} - 4 x + K$ .

$4 = 0^{3} - 4 \cdot 0 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $0^{3} - 4 \cdot 0 + K = 4$ .

$0^{3} - 4 \cdot 0 + K = 4$

Passaggio 4.2

Semplifica $0^{3} - 4 \cdot 0 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + K = 4$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0 + 0 + K = 4$

Passaggio 4.2.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + K$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + K = 4$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 4$

Passaggio 5

Sostituisci $4$ a $K$ in $y = x^{3} - 4 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $4$ a $K$ .

$y = x^{3} - 4 x + 4$