Calcolo Esempi

$2 x (1 + y^{2}) - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \cdot 1 + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x$

Passaggio 1.1.2.2

Sottrai $2 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $y \frac{d y}{d x}$ da $- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $y \frac{d y}{d x}$ da $- y \frac{d y}{d x}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $y \frac{d y}{d x}$ da $- y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $y \frac{d y}{d x}$ da $y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Passaggio 1.1.5

Dividi per $y (- 1 - x^{2})$ ciascun termine in $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Dividi per $y (- 1 - x^{2})$ ciascun termine in $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.2.2

Elimina il fattore comune di $- 1 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y}{- 1 - x^{2}}$

Passaggio 1.1.5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$

Passaggio 1.1.5.3.2

Per scrivere $- \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}} \cdot \frac{y}{y}$

Passaggio 1.1.5.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (- 1 - x^{2})$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.3.1

Moltiplica $\frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{(- 1 - x^{2}) y}$

Passaggio 1.1.5.3.3.2

Riordina i fattori di $(- 1 - x^{2}) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.5.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x - 2 x y \cdot y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.5.1.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.5.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x y \cdot y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.5.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.5.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.5.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y))}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.5.2.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y^{1}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.5.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{1 + 1})}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.5.3

Riscrivi $- 1 y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.6.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - (y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.6.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - x^{2})}$

Passaggio 1.1.5.3.6.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - (x^{2}))}$

Passaggio 1.1.5.3.6.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

Passaggio 1.1.5.3.6.7

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

Passaggio 1.1.5.3.6.8

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ per $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $y$ da $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $1 + y^{2}$ da $2 x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

Passaggio 3.4.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Passaggio 3.4.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$

Passaggio 3.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}})} = e^{2 C}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica ogni lato per ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Elimina il fattore comune di ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Passaggio 3.7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Passaggio 3.7.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Semplifica $e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.1

Riscrivi ${(1 + x^{2})}^{2}$ come $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} ((1 + x^{2}) (1 + x^{2}))$

Passaggio 3.7.4.1.2

Espandi $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 (1 + x^{2}) + x^{2} (1 + x^{2}))$

Passaggio 3.7.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} (1 + x^{2}))$

Passaggio 3.7.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Passaggio 3.7.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Passaggio 3.7.4.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Passaggio 3.7.4.1.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2})$

Passaggio 3.7.4.1.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.3.1.4.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2})$

Passaggio 3.7.4.1.3.1.4.2

Somma $2$ e $2$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{4})$

Passaggio 3.7.4.1.3.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 2 x^{2} + x^{4})$

Passaggio 3.7.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} \cdot 1 + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

Passaggio 3.7.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1.5.1

Moltiplica $e^{2 C}$ per $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

Passaggio 3.7.4.1.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$

Passaggio 3.7.4.1.6

Riordina i fattori in $e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C}$

Passaggio 3.7.4.1.7

Sposta $e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C} + e^{2 C}$

Passaggio 3.7.4.1.8

Riordina $2 x^{2} e^{2 C}$ e $x^{4} e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}$

Passaggio 3.7.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C})$

Passaggio 3.7.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Passaggio 3.7.4.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} C + 2 x^{2} C + C) - 1}$