Calcolo Esempi

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $A b^{2} \cos (b r)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

Passaggio 1.1.2

Riordina i termini.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $A$ da $- b^{2} A \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

Passaggio 1.3

Riordina $A$ e $- b^{2} \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (r) d r}$ , dove $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

Passaggio 2.2

Integra $- b^{2} \cos (b r)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- b^{2}$ è costante rispetto a $r$ , sposta $- b^{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = b r$ . Allora $d u = b d r$ , quindi $\frac{1}{b} d u = d r$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = b r$ . Trova $\frac{d u}{d r}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Riscrivi.

$1 b$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $b$ per $1$ .

$b$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

Passaggio 2.2.3

$\cos (u)$ e $\frac{1}{b}$ .

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{b}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{b}$ fuori dall'integrale.

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{b}$ e $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

Passaggio 2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $b^{2}$ e $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Scomponi $b$ da $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

Passaggio 2.2.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

Passaggio 2.2.5.2.2.2

Scomponi $b$ da $b^{1}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Passaggio 2.2.5.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Passaggio 2.2.5.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

Passaggio 2.2.5.2.2.5

Dividi $b$ per $1$ .

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$e^{- b \sin (u) + C}$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $b r$ .

$e^{- b \sin (b r) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- b \sin (b r)}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- b \sin (b r)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- b \sin (b r)}$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{- b \sin (b r)}$ per $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

L'integrale di $0$ rispetto a $r$ è $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

Passaggio 7.2

Somma $0$ e $C$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- b \sin (b r)}$ ciascun termine in $e^{- b \sin (b r)} A = C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- b \sin (b r)}$ ciascun termine in $e^{- b \sin (b r)} A = C$ .

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- b \sin (b r)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $r$ con $0$ e $A$ con $b^{3}$ in $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

Passaggio 10

Risolvi per $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica ogni lato per $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Semplifica $b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.1

Moltiplica $b$ per $0$ .

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.1.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.1.1.3

Moltiplica $- b \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.1.1.3.2

Moltiplica $0$ per $b$ .

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.1.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.1.1.5

Moltiplica $b^{3}$ per $1$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$b^{3} = C$

Passaggio 10.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$b = \sqrt[3]{C}$

Passaggio 11

Sostituisci $\sqrt[3]{C}$ a $C$ in $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci $\sqrt[3]{C}$ a $b$ .

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$