Calcolo Esempi

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $e^{- y}$ ciascun termine in $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Dividi per $e^{- y}$ ciascun termine in $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ .

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Passaggio 1.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Passaggio 1.1.1.2.1.2

Dividi $1 + \frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $\frac{1}{e^{- y}} - 1$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.2.1.1.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.2

$- 1$ e $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ per $1$ .

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Sia $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Allora $d u_{2} = e^{- y} d y$ , quindi $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Sia $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $1 - e^{- y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{- y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

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Passaggio 2.2.2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- e^{- y}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- y$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 2.2.2.1.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 2.2.2.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- y$ .

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Passaggio 2.2.2.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 2.2.2.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

Passaggio 2.2.2.1.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- y}$ .

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

Passaggio 2.2.2.1.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- y}$ come $- e^{- y}$ .

$0 - - e^{- y}$

Passaggio 2.2.2.1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 e^{- y}$

Passaggio 2.2.2.1.3.9

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$0 + e^{- y}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Somma $0$ e $e^{- y}$ .

$e^{- y}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - e^{- y}$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$