Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $\frac{1}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{1}{x} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $\frac{y}{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = - \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.2

Somma $\frac{1}{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{- y + 1}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} \cdot \frac{- y + 1}{x}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{- y + 1}$ per $\frac{- y + 1}{x}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $- y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{- y + 1} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = - y + 1$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = - y + 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y + 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \ln (| - y + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$- \ln (| - y + 1 |) - \ln (| x |) = C$

Passaggio 3.2

Somma $\ln (| x |)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \ln (| - y + 1 |) = C + \ln (| x |)$

Passaggio 3.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - y + 1 |) = C + \ln (| x |)$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \ln (| - y + 1 |) = C + \ln (| x |)$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\ln (| - y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $\ln (| - y + 1 |)$ per $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Passaggio 3.3.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Passaggio 3.3.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot \ln (| x |)$ come $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - C - \ln (| x |)$

Passaggio 3.4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| - y + 1 |) + \ln (| x |) = - C$

Passaggio 3.5

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y + 1 | | x |) = - C$

Passaggio 3.6

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (- y + 1) x |) = - C$

Passaggio 3.7

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| - y x + 1 x |) = - C$

Passaggio 3.8

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (| - y x + x |) = - C$

Passaggio 3.9

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| - y x + x |)} = e^{- C}$

Passaggio 3.10

Riscrivi $\ln (| - y x + x |) = - C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y x + x |$

Passaggio 3.11

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.11.1

Riscrivi l'equazione come $| - y x + x | = e^{- C}$ .

$| - y x + x | = e^{- C}$

Passaggio 3.11.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$- y x + x = \pm e^{- C}$

Passaggio 3.11.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y x = \pm e^{- C} - x$

Passaggio 3.11.4

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- y x = \pm e^{- C} - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Dividi per $- x$ ciascun termine in $- y x = \pm e^{- C} - x$ .

$\frac{- y x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 3.11.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 3.11.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 3.11.4.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 3.11.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.3.1.1

Semplifica $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Passaggio 3.11.4.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 3.11.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Passaggio 3.11.4.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C}{x} + 1$