Calcolo Esempi

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(1 + x) y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $x$ da $(1 - y) x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Passaggio 3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Passaggio 3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x y}$ nel numeratore.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Passaggio 3.4.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

Passaggio 3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

Passaggio 3.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

Passaggio 3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

Passaggio 3.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Passaggio 3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Passaggio 4.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Passaggio 4.2.3.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Passaggio 4.2.5

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Passaggio 4.2.6

Semplifica.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Passaggio 4.2.7

Riordina i termini.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 4.3.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

Passaggio 4.3.4

Applica la regola costante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

Passaggio 4.3.6

Riordina i termini.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$