Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y + 3$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) (- \frac{x + 1}{2 (y + 3)})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$ nel numeratore.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{2 (y + 3)}$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $y + 3$ da $2 (y + 3)$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Passaggio 1.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Passaggio 1.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = \frac{- (x + 1)}{2}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(y + 3) d y = - \frac{x + 1}{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y + 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 y + C_{2} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \int \frac{x + 1}{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int x + 1 d x)$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int x d x + \int d x)$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x)$

Passaggio 2.3.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + x) + K$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x + K$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} x + K$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2} x + K$

Passaggio 3.2.4

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + K$

Passaggio 3.3

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma $\frac{x^{2}}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} = - \frac{x}{2} + K$

Passaggio 3.3.2

Somma $\frac{x}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} = K$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - K = 0$

Passaggio 3.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $4$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot (2 (\frac{y^{2}}{2})) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{2} + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 (2) (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{x}{2})) + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x + 4 (- K) = 0$

Passaggio 3.4.2.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x - 4 K = 0$

Passaggio 3.4.3

Sposta $12 y$ .

$2 y^{2} + x^{2} + 2 x - 4 K + 12 y = 0$

Passaggio 3.4.4

Sposta $2 x$ .

$2 y^{2} + x^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Passaggio 3.4.5

Riordina $2 y^{2}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Passaggio 3.5

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.6

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 12$ e $c = x^{2} - 4 K + 2 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} - 8 (- 4 K) - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.5

Scomponi $8$ da $144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.5.1

Scomponi $8$ da $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.5.2

Scomponi $8$ da $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.5.3

Scomponi $8$ da $32 K$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.5.4

Scomponi $8$ da $- 16 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.5.5

Scomponi $8$ da $8 (18) + 8 (- x^{2})$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.5.6

Scomponi $8$ da $8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.5.7

Scomponi $8$ da $8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.6

Riscrivi $8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)$ come $2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.6.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.6.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.6.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.1.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K - 2 x + 18)} + 6}{2}$