Calcolo Esempi

$(2 x + 3) d x + (2 y - 2) d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(2 x + 3) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(2 y - 2) d y = - (2 x + 3) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int 2 y - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int - (2 x + 3) d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.2.5.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int - (2 x + 3) d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - (2 x + 3) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- (2 x + 3)$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - (2 x) - 1 \cdot 3 d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - 2 x - 1 \cdot 3 d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - 2 x - 3 d x$

Passaggio 2.3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 3 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 3 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 3 x + C_{5}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - x^{2} - 3 x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y^{2} - 2 y = - x^{2} - 3 x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 2 y + x^{2} = - 3 x + K$

Passaggio 3.1.2

Somma $3 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 2 y + x^{2} + 3 x = K$

Passaggio 3.1.3

Sottrai $K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 2 y + x^{2} + 3 x - K = 0$

Passaggio 3.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = x^{2} + 3 x - K$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 3 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 3 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 3 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (3 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1.4.1

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 12 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 12 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5

Scomponi $4$ da $4 - 4 x^{2} - 12 x + 4 K$ .

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Passaggio 3.4.1.5.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 - 4 x^{2} - 12 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5.2

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) - 12 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5.3

Scomponi $4$ da $- 12 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5.4

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1 + 4 (- x^{2})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5.5

Scomponi $4$ da $4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2} - 3 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.5.6

Scomponi $4$ da $4 \cdot (1 - x^{2} - 3 x) + 4 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 - x^{2} - 3 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.6

Riscrivi $4 (1 - x^{2} - 3 x + K)$ come $2^{2} (1^{2} - x^{2} - 3 x + K)$ .

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Passaggio 3.4.1.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 - x^{2} - 3 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} - x^{2} - 3 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} - x^{2} - 3 x + K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}}{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

Passaggio 3.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 1 + \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$