Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Combina.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Nega l'esponente di $e^{x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Passaggio 2.3.1.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y^{2}, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 y^{2}$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2 y^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ per $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 y^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = - 1 \cdot 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = - 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2 y^{2}$ da $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $2 y^{2}$ da $- 2 y^{2} e^{- x}$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 K y^{2} = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.4

Dividi per $2 (- e^{- x} + K)$ ciascun termine in $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Dividi per $2 (- e^{- x} + K)$ ciascun termine in $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ .

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Passaggio 3.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Passaggio 3.3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Passaggio 3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $- e^{- x} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Passaggio 3.3.4.2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Passaggio 3.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Passaggio 3.3.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- e^{- x}$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) + K)}$

Passaggio 3.3.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $K$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) - 1 (- K))}$

Passaggio 3.3.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x} - K))}$

Passaggio 3.3.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.3.5.1

Riscrivi $- (e^{- x} - K)$ come $- 1 (e^{- x} - K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 1 (e^{- x} - K))}$

Passaggio 3.3.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - - \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Passaggio 3.3.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Passaggio 3.3.4.3.5.4

Moltiplica $\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Passaggio 3.3.5

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Passaggio 3.3.6.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Passaggio 3.3.6.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ per $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Passaggio 3.3.6.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ per $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Passaggio 3.3.6.4.2

Eleva $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Passaggio 3.3.6.4.3

Eleva $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} {\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1}}$

Passaggio 3.3.6.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.6.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}}$

Passaggio 3.3.6.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}$ come $2 (e^{- x} - K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ come ${(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{({(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.6.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.6.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.6.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{1}}$

Passaggio 3.3.6.4.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Passaggio 3.3.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.