Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x + 4 y$

Passaggio 1

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = 3 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 4 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- 4 x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 4 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} (3 x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} (3 x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = 3 e^{- 4 x} x$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = 3 e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = 3 x e^{- 4 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = 3 x e^{- 4 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int 3 x e^{- 4 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- 4 x} y = \int 3 x e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = 3 \int x e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 7.3.2

$x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 7.3.3

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Passaggio 7.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ per $1$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

Passaggio 7.6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Passaggio 7.7

Sia $u = - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1

Sia $u = - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.7.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 7.7.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 7.7.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 7.7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

Passaggio 7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

Passaggio 7.8.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

Passaggio 7.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

Passaggio 7.10

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

Passaggio 7.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.11.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.11.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Passaggio 7.12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

Passaggio 7.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.13.1

Riscrivi $3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ come $3 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 7.13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.13.2.1

$x$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 7.13.2.2

$e^{- 4 x}$ e $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

Passaggio 7.13.2.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

Passaggio 7.14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Passaggio 7.15

Riordina i termini.

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{e^{- 4 x}}{4} \cdot x - \frac{1}{16} \cdot e^{- 4 x}) + C$

Passaggio 8.1.2

$x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \cdot e^{- 4 x}) + C$

Passaggio 8.1.3

$e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

Passaggio 8.2

Dividi per $e^{- 4 x}$ ciascun termine in $e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Dividi per $e^{- 4 x}$ ciascun termine in $e^{- 4 x} y = 3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16})}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16})}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16})}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4}) + 3 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.2

Moltiplica $3 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = \frac{- 3 \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 3 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.2.2

$- 3$ e $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 4 x})}{4} + 3 (- \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.3

Moltiplica $3 (- \frac{e^{- 4 x}}{16})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 4 x})}{4} - 3 \frac{e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.3.2

$- 3$ e $\frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

$y = \frac{\frac{- 3 (x e^{- 4 x})}{4} + \frac{- 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 4 x}}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.5

Per scrivere $- \frac{3 x e^{- 4 x}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.6.1

Moltiplica $\frac{3 x e^{- 4 x}}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.6.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{- \frac{3 x e^{- 4 x} \cdot 4}{16} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{- 3 x e^{- 4 x} \cdot 4 - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.8.1

Scomponi $3 e^{- 4 x}$ da $- 3 x e^{- 4 x} \cdot 4 - 3 e^{- 4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.8.1.1

Scomponi $3 e^{- 4 x}$ da $- 3 x e^{- 4 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 4 x} (- x \cdot 4) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.8.1.2

Scomponi $3 e^{- 4 x}$ da $- 3 e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 4 x} (- x \cdot 4) + 3 e^{- 4 x} (- 1)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.8.1.3

Scomponi $3 e^{- 4 x}$ da $3 e^{- 4 x} (- x \cdot 4) + 3 e^{- 4 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 4 x} (- x \cdot 4 - 1)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.8.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 4 x} (- 4 x - 1)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.9

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 4 x} (- 4 x - 1)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.10

$C$ e $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{3 e^{- 4 x} (- 4 x - 1)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 4 x} (- 4 x - 1) + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{\frac{3 e^{- 4 x} (- 4 x) + 3 e^{- 4 x} \cdot - 1 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.12.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 4 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x} \cdot - 1 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.12.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y = \frac{\frac{3 \cdot - 4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.12.4

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$y = \frac{\frac{- 12 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.2.12.5

Sposta $16$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{\frac{- 12 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{- 12 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.4

Moltiplica $\frac{- 12 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}$ per $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \frac{- 12 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 12 e^{- 4 x} x$ .

$y = \frac{- (12 e^{- 4 x} x) - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{- (12 e^{- 4 x} x) - (3 e^{- 4 x}) + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (12 e^{- 4 x} x) - (3 e^{- 4 x})$ .

$y = \frac{- (12 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x}) + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.8

Scomponi $- 1$ da $16 C$ .

$y = \frac{- (12 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x}) - (- 16 C)}{16 e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.9

Scomponi $- 1$ da $- (12 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x}) - (- 16 C)$ .

$y = \frac{- (12 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x} - 16 C)}{16 e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.10.1

Riscrivi $- (12 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x} - 16 C)$ come $- 1 (12 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x} - 16 C)$ .

$y = \frac{- 1 (12 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x} - 16 C)}{16 e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.10.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{12 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x} - 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Passaggio 8.2.3.10.3

Riordina i fattori in $- \frac{12 e^{- 4 x} x + 3 e^{- 4 x} - 16 C}{16 e^{- 4 x}}$ .

$y = - \frac{12 x e^{- 4 x} + 3 e^{- 4 x} - 16 C}{16 e^{- 4 x}}$