Calcolo Esempi

$x d y = y (x e^{2 x} + 1) d x$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Passaggio 2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} (x e^{2 x} + 1) d x$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $x e^{2 x} + 1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Passaggio 3.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi $e^{2 x}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.4

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.3.4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.3.4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.5

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.8

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 3.3.9

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 3.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{e^{2 x}}{2} + \ln (| x |) + C$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 4.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Passaggio 4.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Passaggio 4.6

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica ogni lato per $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Passaggio 4.6.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Passaggio 4.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Passaggio 4.6.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.4.1

Riordina i fattori in $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Passaggio 4.6.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ come $e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C})$

Passaggio 5.2

Riordina $e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{e^{2 x}}{2}})$

Passaggio 5.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$