Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y^{2} + 1)$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (2 x (y^{2} + 1))$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

Passaggio 1.2.2

$2$ e $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y^{2} + 1$ da $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 2 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riordina $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ rispetto a $y$ è $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\arctan (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arctan (y) = x^{2} + K$

Passaggio 3

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y = \tan (x^{2} + K)$