Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{4 x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x^{2} e^{4 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Passaggio 2.3.2.2

$x^{2}$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{4} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (x) d x)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

$\frac{1}{4}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Passaggio 2.3.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Passaggio 2.3.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x)$

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x$

Passaggio 2.3.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Passaggio 2.3.6.2

$x$ e $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Passaggio 2.3.6.3

$\frac{1}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Passaggio 2.3.8

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.3.8.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.8.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Passaggio 2.3.9

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Passaggio 2.3.10

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Passaggio 2.3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.11.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.12

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$

Passaggio 2.3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Riscrivi $\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$ come $\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.2.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2}}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.2

$\frac{x^{2}}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.3

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.4

$\frac{x}{4}$ e $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.5

$e^{u}$ e $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.6

Per scrivere $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.7

$- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ e $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.9

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.10

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 4}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.11

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.2.11.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.2.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.13.2.11.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.2.3

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{4 x}}{16}$ nel numeratore.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.3.3

Scomponi $2$ da $16$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.3.4

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.3.5

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{- e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - - \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.4.2

Moltiplica $- - \frac{e^{4 x}}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 1 \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.15.4.2.2

Moltiplica $\frac{e^{4 x}}{8}$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.16

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + K$