Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riordina $5$ e $4 x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sposta $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x - x^{2} + 5} d x$

Passaggio 2.3.3

Riordina $4 x$ e $- x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Passaggio 2.3.4

Dividi $x^{3} - 21 x$ per $- x^{2} + 4 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

Passaggio 2.3.4.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Passaggio 2.3.4.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 4 x^{2} - 5 x$

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Passaggio 2.3.4.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

Passaggio 2.3.4.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

Passaggio 2.3.4.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $- x^{2}$ .

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

Passaggio 2.3.4.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Passaggio 2.3.4.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} - 16 x - 20$

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Passaggio 2.3.4.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Passaggio 2.3.4.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$y + C_{1} = \int - x - 4 + \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Passaggio 2.3.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int - x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Passaggio 2.3.8

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Passaggio 2.3.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Passaggio 2.3.10

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , sposta $20$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Passaggio 2.3.11

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ e la cui somma è $b = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.1.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{1}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

Passaggio 2.3.11.1.1.1.2

Riscrivi $4$ come $- 1$ più $5$ .

$\frac{1}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

Passaggio 2.3.11.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

Passaggio 2.3.11.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{1}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

Passaggio 2.3.11.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{1}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

Passaggio 2.3.11.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 1$ .

$\frac{1}{(- x - 1) (x - 5)}$

Passaggio 2.3.11.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

Passaggio 2.3.11.1.3

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.5

Elimina il fattore comune di $- x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.6

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.7.1

Elimina il fattore comune di $- x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.7.1.2

Dividi $(A) (x - 5)$ per $1$ .

$1 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.7.3

Sposta $- 5$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.7.4

Elimina il fattore comune di $x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.1.7.4.2

Dividi $(B) (- x - 1)$ per $1$ .

$1 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

Passaggio 2.3.11.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

Passaggio 2.3.11.1.7.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

Passaggio 2.3.11.1.7.7

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

Passaggio 2.3.11.1.7.8

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - B$

Passaggio 2.3.11.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.8.1

Sposta $B$ .

$1 = A x - 5 A - x B - B$

Passaggio 2.3.11.1.8.2

Sposta $- 5 A$ .

$1 = A x - x B - 5 A - B$

Passaggio 2.3.11.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A - 1 B$

Passaggio 2.3.11.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 5 A - 1 B$

Passaggio 2.3.11.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

Passaggio 2.3.11.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A - 1 B = 0$ .

$A - 1 B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

Passaggio 2.3.11.3.1.2

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$A - B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

Passaggio 2.3.11.3.1.3

Somma $B$ a entrambi i lati dell'equazione.

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

Passaggio 2.3.11.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 5 A - 1 B$ con $B$ .

$1 = - 5 B - 1 B$

$A = B$

Passaggio 2.3.11.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.2.2.1

Semplifica $- 5 B - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.2.2.1.1

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$1 = - 5 B - B$

$A = B$

Passaggio 2.3.11.3.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- 5 B$ .

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

Passaggio 2.3.11.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - 6 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 6 B = 1$ .

$- 6 B = 1$

$A = B$

Passaggio 2.3.11.3.3.2

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.3.2.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 B = 1$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Passaggio 2.3.11.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Passaggio 2.3.11.3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Passaggio 2.3.11.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

Passaggio 2.3.11.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{1}{6}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = B$ con $- \frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

Passaggio 2.3.11.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

Passaggio 2.3.11.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{6}, B = - \frac{1}{6}$

Passaggio 2.3.11.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.2

Moltiplica $\frac{1}{- x - 1}$ per $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{(- x - 1) \cdot 6} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.3

Sposta $6$ alla sinistra di $- x - 1$ .

$- \frac{1}{6 \cdot (- x - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.5.7.1

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{1}{6 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6 (x + 1)}) + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.7.4

Moltiplica $\frac{1}{6 (x + 1)}$ per $1$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.8

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 5}$

Passaggio 2.3.11.5.9

Moltiplica $\frac{1}{x - 5}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{(x - 5) \cdot 6}$

Passaggio 2.3.11.5.10

Sposta $6$ alla sinistra di $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6 (x - 5)} d x$

Passaggio 2.3.12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\int \frac{1}{6 (x + 1)} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Passaggio 2.3.13

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Passaggio 2.3.14

Sia $u_{1} = x + 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.14.1

Sia $u_{1} = x + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.14.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.14.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.14.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.14.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.14.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.14.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Passaggio 2.3.15

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Passaggio 2.3.16

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \int \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Passaggio 2.3.17

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 5} d x))$

Passaggio 2.3.18

Sia $u_{2} = x - 5$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.1

Sia $u_{2} = x - 5$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.18.1.1

Differenzia $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Passaggio 2.3.18.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.3.18.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.3.18.1.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.18.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.18.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.19

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Passaggio 2.3.20

Semplifica.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Passaggio 2.3.21

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.21.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Passaggio 2.3.21.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C$