Calcolo Esempi

$(y + 2 x) d y + y d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y + 2 x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 = 2$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$1 = 2$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci $2$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $y$ a $M$ .

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Passaggio 5.3.1

Sostituisci $y$ a $M$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $y$ a $M$ .

$\frac{1}{y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Passaggio 6.1

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Passaggio 6.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.2.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = | y | + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $y d x + (y + 2 x) d y = 0$ per il fattore di integrazione $y$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y \cdot y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) d y = 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $y + 2 x$ per $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) y d y = 0$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} d x + (y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} d x + (y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Passaggio 9

Integra $M (x, y) = y^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + 2 x y$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Passaggio 12.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Passaggio 12.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y$

Passaggio 12.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = y^{2} + 2 x y$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 13.1.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y - 2 x y$

Passaggio 13.1.2

Combina i termini opposti in $y^{2} + 2 x y - 2 x y$ .

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Passaggio 13.1.2.1

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Passaggio 13.1.2.2

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $y^{2}$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Passaggio 14.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 16

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{y^{3}}{3} + C$