Calcolo Esempi

$2 x (y + 1) + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x y + 2 x \cdot 1 + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x y + 2 x + (x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1.1.1.4

Moltiplica $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$2 x y + 2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x + x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Passaggio 1.1.2.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Passaggio 1.1.3.2

Eleva $\frac{d y}{d x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 2 x y - 2 x$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y - 2 x$

Passaggio 1.1.3.4

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$

Passaggio 1.1.4

Dividi per $x^{2} + 1$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Dividi per $x^{2} + 1$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 2 x y - 2 x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{- 2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y - 2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.2.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x y - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) - 2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.2.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.2.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 1 y) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 y - 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.2.2

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- y - 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.3.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y) - 1 (1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.3.4.1

Riscrivi $- (y + 1)$ come $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (y + 1))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.4.3.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 x) (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (- \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y + 1}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $y + 1$ da $\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Passaggio 1.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Passaggio 1.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3.4

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.4.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 1 | | x^{2} + 1 |) = C$

Passaggio 3.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| (y + 1) (x^{2} + 1) |) = C$

Passaggio 3.4

Espandi $(y + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) |) = C$

Passaggio 3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Passaggio 3.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 \cdot 1 |) = C$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$

Passaggio 3.6

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |)} = e^{C}$

Passaggio 3.7

Riscrivi $\ln (| y x^{2} + y + x^{2} + 1 |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x^{2} + y + x^{2} + 1 |$

Passaggio 3.8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Riscrivi l'equazione come $| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$ .

$| y x^{2} + y + x^{2} + 1 | = e^{C}$

Passaggio 3.8.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y x^{2} + y + x^{2} + 1 = \pm e^{C}$

Passaggio 3.8.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{2} + y + 1 = \pm e^{C} - x^{2}$

Passaggio 3.8.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{2} + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Passaggio 3.8.4

Scomponi $y$ da $y x^{2} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Scomponi $y$ da $y x^{2}$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Passaggio 3.8.4.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Passaggio 3.8.4.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y (x^{2}) + y \cdot 1 = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Passaggio 3.8.4.4

Scomponi $y$ da $y (x^{2}) + y \cdot 1$ .

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$

Passaggio 3.8.5

Dividi per $x^{2} + 1$ ciascun termine in $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.1

Dividi per $x^{2} + 1$ ciascun termine in $y (x^{2} + 1) = \pm e^{C} - x^{2} - 1$ .

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.8.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.8.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.8.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{- 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.8.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.8.5.3.2

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 3.8.5.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{C} - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C - x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$