Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{8}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{8}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \int x^{3} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ come $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{8}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{12} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 (2)}{12} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{2}{3} x^{4} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{2 x^{4}}{3} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 2 x^{4} + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 3 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $2$ in $y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K} = 2$

Passaggio 6.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}}^{3} = 2^{3}$

Passaggio 6.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}$ come ${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{1} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(2 \cdot 0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Semplifica aggiungendo gli zeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Somma $0$ e $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Semplifica.

$K = 2^{3}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$K = 8$

Passaggio 7

Sostituisci $8$ a $K$ in $y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $8$ a $K$ .

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 8}$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{4}$ .

$y = \sqrt[3]{2 (x^{4}) + 8}$

Passaggio 7.2.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 2 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.3

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 2 \cdot 4$ .

$y = \sqrt[3]{2 (x^{4} + 4)}$