Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = x^{3} + 3 x^{4}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 3 x^{4} + x^{3}$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 3 x^{4} + x^{3}$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 3 x^{4} + x^{3}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 2}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{2 y}{x}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{4}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 \frac{1}{x^{2}} x^{4} + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.3.2

$3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} x^{4} + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{3}$

Passaggio 3.3.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} (x^{2} x)$

Passaggio 3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} (x^{2} x)$

Passaggio 3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 x^{2} + x$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 3 x^{2} + x$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 3 x^{2} + x d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 3 x^{2} + x d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 3 x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 7.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 \int x^{2} d x + \int x d x$

Passaggio 7.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

Passaggio 7.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.5

Semplifica.

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Passaggio 7.5.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7.5.2

Semplifica.

$\frac{1}{x^{2}} y = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 8.3

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$

Passaggio 8.4

Semplifica.

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Passaggio 8.4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.4.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 8.4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$

Passaggio 8.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.4.2.1

Semplifica $(x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C) x^{2}$ .

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Passaggio 8.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x^{3} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 8.4.2.1.2.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.2.1.2.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = x^{3 + 2} + \frac{x^{2}}{2} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.1.2

Somma $3$ e $2$ .

$y = x^{5} + \frac{x^{2}}{2} x^{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2} x^{2}$ .

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Passaggio 8.4.2.1.2.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = x^{5} + \frac{x^{2} x^{2}}{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = x^{5} + \frac{x^{2 + 2}}{2} + C x^{2}$

Passaggio 8.4.2.1.2.2.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$y = x^{5} + \frac{x^{4}}{2} + C x^{2}$