Calcolo Esempi

$x y y' = 1 - x^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale.

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Passaggio 2

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1.2.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Passaggio 2.1.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

Passaggio 2.1.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

Passaggio 2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per scrivere $- \frac{x}{y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 2.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{x}{y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

Passaggio 2.2.2.2

Riordina i fattori di $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi $x \cdot x$ come $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

Passaggio 2.2.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Passaggio 2.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 2.4

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Passaggio 2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Passaggio 2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

Passaggio 3.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Riordina $x$ e $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

Passaggio 3.3.4.2

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

Passaggio 3.3.4.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Passaggio 3.3.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Passaggio 3.3.4.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Passaggio 3.3.5

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

Passaggio 3.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

Passaggio 3.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

Passaggio 3.3.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

Passaggio 3.3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

Passaggio 3.3.10

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

Passaggio 3.3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.11.1

Sottrai $x^{2}$ da $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Passaggio 3.3.11.2

Riordina $1$ e $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

Passaggio 3.3.12

Dividi $- x^{2} + 1$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 3.3.12.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Passaggio 3.3.12.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Passaggio 3.3.12.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + 0$

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Passaggio 3.3.12.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Passaggio 3.3.12.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Passaggio 3.3.12.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.13

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.15

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.3.16

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 3.3.17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.17.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 3.3.17.2

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 4.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 4.3

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Passaggio 4.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 5

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$