Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$

Passaggio 1

Per risolvere l'equazione differenziale, sia $v = y^{1 - n}$ , dove $n$ è l'esponente di $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione per $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata di $y$ rispetto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 4

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata di $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.2.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Moltiplica $v^{\frac{1}{3}}$ per $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.4.4.2

Sottrai $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ da $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.11

$\frac{1}{3}$ e $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.12

Sposta $v^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.13

Riscrivi $\frac{d}{d x} [v]$ come $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.14

$\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.15

Riscrivi $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ come un prodotto.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 4.16

Moltiplica $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.17

Moltiplica $v^{\frac{2}{3}}$ per $v^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.1

Sposta $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 4.17.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.17.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 4.17.4

Somma $2$ e $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ a $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{3}}$ a $y$ nell'equazione originale $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica per $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ ciascun termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ per $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.2

Scomponi $3 v^{\frac{4}{3}}$ da $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{d v}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4

Moltiplica $v^{- \frac{1}{3}}$ per $v^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.4.1

Sposta $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.4.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.5

Semplifica $\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.6

$\frac{1}{3}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1.7.1

Scomponi $3$ da $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.2.1.9

Riscrivi $- 1 v$ come $- v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.3.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 (x))) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Passaggio 6.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (\frac{1}{3}) - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.6.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (- 1) \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 \cdot - 1 \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.7

Moltiplica gli esponenti in ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.7.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.7.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.7.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.8

Moltiplica $v^{- \frac{4}{3}}$ per $v^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.8.1

Sposta $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Passaggio 6.1.1.3.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.8.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.8.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{0}{3}}$

Passaggio 6.1.1.3.8.5

Dividi $0$ per $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{0}$

Passaggio 6.1.1.3.9

Semplifica $(- 1 - 3 x) v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 - 3 x$

Passaggio 6.1.2

Riordina i termini.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 x - 1$

Passaggio 6.2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d x}$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola costante.

$e^{- x + C}$

Passaggio 6.2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x}$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 6.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 6.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 6.3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$

Passaggio 6.3.4

Riordina i fattori in $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Passaggio 6.4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Passaggio 6.5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Passaggio 6.6

Integra il lato sinistro.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} v = - 3 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.5.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.6

Sia $u_{1} = - x$ . Allora $d u_{1} = - d x$ , quindi $- d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.6.1

Sia $u_{1} = - x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.6.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 6.7.6.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.7.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 6.7.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 6.7.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.8

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Passaggio 6.7.10

Sia $u_{2} = - x$ . Allora $d u_{2} = - d x$ , quindi $- d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.10.1

Sia $u_{2} = - x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.10.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 6.7.10.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.7.10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 6.7.10.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 6.7.10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6.7.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6.7.12

Semplifica.

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Passaggio 6.7.12.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6.7.12.2

Moltiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 6.7.13

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Passaggio 6.7.14

Semplifica.

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Passaggio 6.7.15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 6.7.15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Passaggio 6.7.15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Passaggio 6.8

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 6.8.1

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

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Passaggio 6.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.8.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$v = \frac{3 (x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Passaggio 6.8.3.3

Somma $3 e^{- x}$ e $e^{- x}$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Passaggio 7

Sostituisci $y^{- 3}$ a $v$ .

$y^{- 3} = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$