Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 6 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 6 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $6 + x$ .

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.3.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $7 (- u^{- 1} + C_{2})$ come $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

$- 7$ e $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 + x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $6$ in $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ .

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ .

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

Passaggio 4.2

Somma $6$ e $0$ .

$- \frac{7}{6} + K = 6$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $\frac{7}{6}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 6 + \frac{7}{6}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

Passaggio 4.3.3

$6$ e $\frac{6}{6}$ .

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$K = \frac{36 + 7}{6}$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $36$ e $7$ .

$K = \frac{43}{6}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{43}{6}$ a $K$ in $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{43}{6}$ a $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

Passaggio 5.2

Per scrivere $- \frac{7}{6 + x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $\frac{43}{6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Passaggio 5.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(6 + x) \cdot 6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $\frac{7}{6 + x}$ per $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $\frac{43}{6}$ per $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Passaggio 5.4.3

Riordina i fattori di $(6 + x) \cdot 6$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.6.1

Moltiplica $- 7$ per $6$ .

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Passaggio 5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Passaggio 5.6.3

Moltiplica $43$ per $6$ .

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Passaggio 5.6.4

Somma $- 42$ e $258$ .

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$