Calcolo Esempi

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

Passaggio 1

Sia $v = t^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $t^{2}$ con $v$ .

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

Passaggio 2

Trova $\frac{d v}{d w}$ differenziando $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ è $f' (g (w)) g' (w)$ dove $f (w) = w^{2}$ e $g (w) = t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t$ .

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d w} [t]$ come $t'$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

Passaggio 3

Sostituisci la derivata nell'equazione differenziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $2 t$ da $2 w t$ .

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'espressione.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

Passaggio 4

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $v$ da entrambi i lati dell'equazione.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

Passaggio 4.2

Dividi per $w$ ciascun termine in $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ .

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Passaggio 4.3.2

Dividi $\frac{d v}{d w}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $w^{3}$ e $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $w$ da $- 2 w^{3}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

Passaggio 4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

Passaggio 4.4.2.2

Scomponi $w$ da $w^{1}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Passaggio 4.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Passaggio 4.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

Passaggio 4.4.2.5

Dividi $- 2 w^{2}$ per $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

Passaggio 4.5

Scomponi $v$ da $\frac{- v}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

Passaggio 4.6

Riordina $v$ e $\frac{- 1}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

Passaggio 5

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (w) d w}$ , dove $P (w) = \frac{- 1}{w}$ .

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Passaggio 5.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

Passaggio 5.2

Integra $\frac{- 1}{w}$ .

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Passaggio 5.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

Passaggio 5.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $w$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

Passaggio 5.2.3

L'integrale di $\frac{1}{w}$ rispetto a $w$ è $\ln (| w |)$ .

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

$e^{- \ln (| w |) + C}$

Passaggio 5.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (w)}$

Passaggio 5.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

Passaggio 5.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$w^{- 1}$

Passaggio 5.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{w}$

Passaggio 6

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{w}$ .

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Passaggio 6.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{1}{w}$ e $\frac{d v}{d w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.2.4

$\frac{1}{w}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ .

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Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $\frac{v}{w}$ per $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.2.5.2

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.2.5.3

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.2.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.2.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Passaggio 6.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

Passaggio 6.4

$- 2$ e $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Scomponi $w$ da $w^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Passaggio 6.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Passaggio 6.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

Passaggio 7

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

Passaggio 8

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

Passaggio 9

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

Passaggio 10

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $w$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

Passaggio 10.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $w$ rispetto a $w$ è $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

Passaggio 10.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Riscrivi $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ come $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

Passaggio 10.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

Passaggio 10.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

Passaggio 10.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

Passaggio 10.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

Passaggio 10.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

Passaggio 10.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

Passaggio 11

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{w}$ e $v$ .

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

Passaggio 11.2

Moltiplica ogni lato per $w$ .

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Passaggio 11.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Elimina il fattore comune di $w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Passaggio 11.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$v = (- w^{2} + C) w$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Semplifica $(- w^{2} + C) w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$v = - w^{2} w + C w$

Passaggio 11.3.2.1.2

Moltiplica $w^{2}$ per $w$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.2.1

Sposta $w$ .

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

Passaggio 11.3.2.1.2.2

Moltiplica $w$ per $w^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.2.2.1

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

Passaggio 11.3.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

Passaggio 11.3.2.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$v = - w^{3} + C w$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $t^{2}$ .

$t^{2} = - w^{3} + C w$

Passaggio 13

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

Passaggio 13.2

Scomponi $w$ da $- w^{3} + C w$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Scomponi $w$ da $- w^{3}$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

Passaggio 13.2.2

Scomponi $w$ da $C w$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

Passaggio 13.2.3

Scomponi $w$ da $w (- w^{2}) + w C$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Passaggio 13.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Passaggio 13.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Passaggio 13.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$